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積の微分法の多項積への拡張

2025-06-12

数学

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演習問題

積の微分法の多項積への拡張#

高校で学ぶ積の微分法（積の法則）は通常2つの積までですが、実際には3つ以上の積にも自然に拡張できます。本記事では、その考え方と一般公式をわかりやすく解説し、最後に演習問題も用意しました。

基本の積の微分法#

まず、基本のおさらいです。2つの関数 $u(x), v(x)$ の積の微分は次のようになります。

(uv)' = u'v + uv'

これは「片方ずつ微分して、それぞれ和を取る」という形です。

3つの積の場合#

次に3つの積を考えます。 $u(x), v(x), w(x)$ の積 $f(x) = u(x) v(x) w(x)$ の微分は次の通りです。

f'(x) = u'(x) v(x) w(x) + u(x) v'(x) w(x) + u(x) v(x) w'(x)

つまり、各項で1つだけ微分して、残りはそのまま掛ける というルールが成り立ちます。

4つ以上でも同様#

例えば、4つの積 $f(x) = a(x) b(x) c(x) d(x)$ ならば

f'(x) = a'(x) b(x) c(x) d(x) + a(x) b'(x) c(x) d(x) + a(x) b(x) c'(x) d(x) + a(x) b(x) c(x) d'(x)

と展開できます。

一般公式#

一般に、 $n$ 個の関数 $u_1(x), u_2(x), \dots, u_n(x)$ の積

f(x) = \prod_{i=1}^{n} u_i(x)

を微分すると、

f'(x) = \sum_{k=1}^{n} \left( u_k'(x) \prod_{\substack{j=1 \\ j \ne k}}^{n} u_j(x) \right)

となります。

演習問題#

文系向け（数II範囲）#

問題1

次の関数を微分せよ。

f(x) = x(x+1)(x-2)

理系向け（数III範囲）#

問題2

次の関数を微分せよ。

g(x) = x^2 \cdot e^x \cdot \sin x

解答#

問題1 解答#

まず積のまま微分しても良いが、展開してから微分してもよい。

展開：

f(x) = x(x+1)(x-2) = x(x^2 - x - 2) = x^3 - x^2 - 2x

微分：

f'(x) = 3x^2 - 2x - 2

積の微分法をそのまま使うと：

f'(x) = 1 \cdot (x+1)(x-2) + x \cdot 1 \cdot (x-2) + x \cdot (x+1) \cdot 1

それぞれ計算しても同じ答えに到達します。

問題2 解答#

各項の微分は：

$x^2$ → $2x$
$e^x$ → $e^x$
$sin x$ → $\cos x$

よって

g'(x) = (2x) e^x \sin x + x^2 e^x \cos x + x^2 e^x \sin x

整理すると

g'(x) = e^x \left( (2x + x^2) \sin x + x^2 \cos x \right)

ポイントは「誰か1人だけ微分して、残りはそのまま掛ける」を繰り返すことです。

積の微分法の多項積への拡張

https://fuwari.vercel.app/posts/product-rule/

作者

朱鷺菜

公開日

2025-06-12

ライセンス

数学解答用紙で使える記号まとめ